(Anonym):Kündigung oder Aufhebungsvertrag

Liebes Rechtsforum

Seit Ende September 2019 bin ich krankgeschrieben.
Im Oktober 2019 beschliesst die Trägerschaft einer Kette meinen Arbeitsort auf Ende Januar 2020 zu schliessen und kündet daraufhin innerhalb der betrieblichen Kündigungsfrist (3 Monate) meinen Mitarbeiter_innen.

Da ich mich in meinem 5. Dienstjahr befinde, beträgt meine Sperrfristzeit bei Krankheit 90 Tage. Somit ist sie Ende Dezember 2019 abgelaufen.

Nun habe ich in der Zwischenzeit ein neues Jobangebot erhalten und beim HR per Mail nachgefragt, ob wir auf gegenseitiges Einvernehmen meinen Arbeitsvertrag auf Ende Januar 2020 auflösen können. Laut HR hiess es zuerst (schriftlich), dass ich das Jobangebot annehmen darf.
Daraufhin habe ich den neuen Arbeitsvertrag unterschrieben und abgeschickt.
Nun verlangt das HR eine Kündigung mit Kündigungsgrund von mir und ein Arztzeugnis, welches mich ab Februar zu 100% arbeitsfähig schreibt.

1. Wofür brauchen sie dieses Arztzeugnis?

2. Was wären wohl die nächsten Schritte? Würde mir dann die Trägerschaft fristlos künden?
(Da ich 3 Monate Kündigungsfrist habe)

3. Macht ein Aufhebungsvertrag, in diesem Falle, nicht mehr Sinn?
Wie sieht das rechtlich aus? Wie bin ich als Arbeitnehmer_in besser geschützt?

4. Kann mir die Trägerschaft die Kündigung/den Aufhebungsvertrag verweigern und mich dazu "zwingen" an einem anderen Arbeitsort der Kette weiter zu beschäftigen?
(Mein Arbeitsvertrag ist an keinen festen Arbeitsort gebunden)

Vielen herzlichen Dank im Voraus!